Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為： ，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)， ）．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求．

Answer 1

【答案】（I） ;（II）.

【解析】試題分析：（I）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的關(guān)系式 可將曲線極坐標(biāo)方程化為普通方程.（II）將直線的參數(shù)方程代入取曲線的普通方程中， 為中點(diǎn)，由的幾何意義知故得到關(guān)于的方程，求出傾斜角.

試題解析：

（I）曲線,即,

于是有,

化為直角坐標(biāo)方程為:

（II）方法1:

即

由的中點(diǎn)為得,有,所以

由 得

方法2:設(shè),則

,

∵,∴,由 得.

方法3: 設(shè),則由是的中點(diǎn)得

,

∵,∴,知

∴,由 得.

方法4:依題意設(shè)直線,與聯(lián)立得,

即

由得 ,因為 ,所以.