Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面.已知，.

（1）證明：平面；

（2）證明：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)及線面平行判定定理可證得結(jié)論；

（2）由面面垂直性質(zhì)可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；

（3）取的中點(diǎn)為，根據(jù)垂直關(guān)系可以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）四邊形為矩形

平面，平面 平面

（2）平面平面，平面平面， 平面，

平面

平面

（3）取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，則

平面

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示

不妨設(shè)

， ，，

，，，，

則，，

由（2）可知：

平面， 平面

為平面的一個(gè)法向量

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則，令，解得：，

二面角為鈍角 二面角的余弦值是