Question

已知變換T 把平面上的點(diǎn)（1，0），（0，

2

）分別變換成點(diǎn)（1，1），（-

2

，

2

）．
（1）試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M；
（2）求曲線x²-y²=1在變換T的作用下所得到的曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出所求矩陣，利用待定系數(shù)法建立一個(gè)四元一次方程組，解方程組即可；
（2）先設(shè)P（x，y）是曲線x²-y²=1上的任一點(diǎn)，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩陣T對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換求出P與P₁的關(guān)系，代入已知曲線求出所求曲線即可．

解答：解：（1）設(shè)矩陣M=

a b c d

依題意得，

x′′ y′′

=

a b c d

x′ y′

→

x′=ax+by y′=cx+dy

，
∴（1，0）變換為（1，1）得：a=1，c=1，
（0，

2

） 變換為（-

2

，

2

） 得：b=-1，d=1
所求矩陣M=

1 -1 1 1

…（5分）
（2）變換T所對(duì)應(yīng)關(guān)系

x′=x-y y′=x+y

解得

x= x′+y′ 2 y= y′-x′ 2

…（7分）
代入x²-y²=1得：x′y′=1，
故x²-y²=1在變換T的作用下所得到的曲線方程得xy=1 …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．