Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時， ．
（1）求f（x）的表達式；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，

∴對定義域R內(nèi)任意的x，都有f（﹣x）=﹣f（x）

令x=0得，f（0）=﹣f（0），即f（0）=0

又當(dāng)x＞0時，﹣x＜0，此時

綜合可得：

（2）解：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，下面給予證明．

設(shè)0＜x1＜x2，則

=

∵0＜x1＜x2，

∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)

【解析】（1）易得f（0）=0，令x＞0，則﹣x＜0，代入已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得解析式；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，可用定義法證明．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．