Question

【題目】數列： 滿足： ， 或1（）．對任意，都存在，使得．，其中 且兩兩不相等．

(I)若．寫出下列三個數列中所有符合題目條件的數列的序號；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記．若，證明： ；

(Ⅲ)若，求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)見解析（Ⅲ）的最小值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）依據定義檢驗給出的數列是否滿足要求條件．（Ⅱ）當時， 都在數列中出現(xiàn)，可以證明至少出現(xiàn)4次，2至少出現(xiàn)2次，這樣． （Ⅲ）設出現(xiàn)頻數依次為．同（Ⅱ）的證明，可得： ， ， ，┄， ， ， ，則，我們再構造數列：

，證明該數列滿足題設條件，從而的最小值為．

解析：（Ⅰ）對于①，，對于， 或，不滿足要求；對于②，若，則，且彼此相異，若，則，且彼此相異，若，則，且彼此相異，故②符合題目條件；同理③也符合題目條件，故符合題目條件的數列的序號為②③．

注：只得到 ② 或只得到 ③ 給[ 1分]，有錯解不給分．

（Ⅱ）當時，設數列中出現(xiàn)頻數依次為，由題意．

① 假設，則有（對任意），與已知矛盾，所以．同理可證： ．

② 假設，則存在唯一的，使得．那么，對，有（兩兩不相等），與已知矛盾，所以.

綜上： ， ， ，所以．

（Ⅲ）設出現(xiàn)頻數依次為．同（Ⅱ）的證明，可得： ， ， ，┄， ， ， ，則．

取得到的數列為：

下面證明滿足題目要求．對，不妨令，

① 如果或，由于，所以符合條件；

② 如果或，由于，所以也成立；

③ 如果，則可選取；同樣的，如果，

則可選取，使得，且兩兩不相等；

④ 如果，則可選取，注意到這種情況每個數最多被選取了一次，因此也成立．綜上，對任意，總存在，使得，其中且兩兩不相等．因此滿足題目要求，所以的最小值為．