【題目】數(shù)列:
滿足:
,
或1(
).對(duì)任意
,都存在
,使得
.,其中
且兩兩不相等.
(I)若.寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào);
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)記.若
,證明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)見解析(Ⅲ)的最小值為
【解析】試題分析:(Ⅰ)依據(jù)定義檢驗(yàn)給出的數(shù)列是否滿足要求條件.(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
都在數(shù)列中出現(xiàn),可以證明
至少出現(xiàn)4次,2至少出現(xiàn)2次,這樣
. (Ⅲ)設(shè)
出現(xiàn)頻數(shù)依次為
.同(Ⅱ)的證明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,則
,我們?cè)贅?gòu)造數(shù)列:
,證明該數(shù)列滿足題設(shè)條件,從而
的最小值為
.
解析:(Ⅰ)對(duì)于①,,對(duì)于
,
或
,不滿足要求;對(duì)于②,若
,則
,且
彼此相異,若
,則
,且
彼此相異,若
,則
,且
彼此相異,故②符合題目條件;同理③也符合題目條件,故符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)為②③.
注:只得到 ② 或只得到 ③ 給[ 1分],有錯(cuò)解不給分.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)數(shù)列
中
出現(xiàn)頻數(shù)依次為
,由題意
.
① 假設(shè),則有
(對(duì)任意
),與已知矛盾,所以
.同理可證:
.
② 假設(shè),則存在唯一的
,使得
.那么,對(duì)
,有
(
兩兩不相等),與已知矛盾,所以
.
綜上: ,
,
,所以
.
(Ⅲ)設(shè)出現(xiàn)頻數(shù)依次為
.同(Ⅱ)的證明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,則
.
取得到的數(shù)列為:
下面證明滿足題目要求.對(duì)
,不妨令
,
① 如果或
,由于
,所以符合條件;
② 如果或
,由于
,所以也成立;
③ 如果,則可選取
;同樣的,如果
,
則可選取,使得
,且
兩兩不相等;
④ 如果,則可選取
,注意到這種情況每個(gè)數(shù)最多被選取了一次,因此也成立.綜上,對(duì)任意
,總存在
,使得
,其中
且兩兩不相等.因此
滿足題目要求,所以
的最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求
在點(diǎn)
的切線方程;
(2)若對(duì),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),記
.
(1)求證: 在區(qū)間
內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù);
(2)用表示
中的最小值,設(shè)函數(shù)
,若方程
在區(qū)間
內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根
,記
在
內(nèi)的實(shí)根為
.求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
為常數(shù),設(shè)
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求
的最大值;
(2)若在區(qū)間
上的最大值為
,求
的值;
(3)設(shè),若
,對(duì)于任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中,
平面
,
,點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn),設(shè)直線
與平面
交于點(diǎn)
.
(1)已知平面平面
,求證:
.
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:
,
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且滿足
,試確定
的值,使得數(shù)列
為等差數(shù)列;
(3)將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來(lái)順序構(gòu)成新數(shù)列
,且
,求證:存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的無(wú)窮等比數(shù)列
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)令,討論
的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,若有,求出極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,點(diǎn)
在拋物線
上,已知以點(diǎn)
為圓心,
為半徑的圓
交
于
兩點(diǎn).
(Ⅰ)若,
的面積為4,求拋物線
的方程;
(Ⅱ)若三點(diǎn)在同一條直線
上,直線
與
平行,且
與拋物線
只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線
的方程.
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