Question

【題目】（1）若，恒成立，求實數(shù)的最大值；

（2）在（1）的條件下，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）．（2）家粘結(jié)性

【解析】

（1）令，求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間，從而得的最小值，得的取值范圍，即得；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，通分后，令，再求導(dǎo)數(shù)，令．分類討論，當(dāng)時，，得遞減，從而可得在上有唯一零點(diǎn)，時，令．利用導(dǎo)數(shù)得的單調(diào)性，從而得，于是得出在上的單調(diào)性，得唯一極大值點(diǎn)．由可對變形，得，只要證明在上，從而可證得結(jié)論．

（1）解：令，則．

可見，；．

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取最小值1．

由題意，實數(shù)．所以．

（2）由（1），．

令，

則．

令．

①當(dāng)時，，，，所以．

可見，，所以在上單調(diào)遞減．

又（由（1），可得，所以），

，所以存在唯一的，使得．

從而，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減．

②當(dāng)時，令．

則．所以在上單調(diào)遞減．

所以（由（1），可得，所以）．

又當(dāng)時，，，，

所以當(dāng)時，，從而．所以在單調(diào)遞增．

綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單詞遞減．

所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)．

關(guān)于的證明如下：

由上面的討論，，且，所以，所以．

于是．

令．當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增．所以，當(dāng)時，，即．

又因為，所以，，所以．

所以．