【題目】已知數(shù)列
滿足
，
，
.
（1）若
.
①求數(shù)列的通項公式；
②證明：對
， 
.
（2）若
，且對，有
，證明：
.
【答案】（1）①
；②證明見解析；（2）證明見解析
【解析】
（1）①當(dāng)
時，
，兩邊取倒數(shù)，再根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，可得出數(shù)列
是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列
的通項公式；
②由①知，利用裂項公式整理得出
，則對
，根據(jù)裂項相消法即可求出
；
（2）當(dāng)
時，
，則
，由于
，則
，根據(jù)基本不等式得出
，化簡整理有
，最后再利用基本不等式，即可證明出
.
解：（1）①當(dāng)時，，
∵
，∴
，依此類推，
∴
，∴
，
∴數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴
，即，
②證明：由①知，故對
，
∴
＝
＝
，
（2）證明：當(dāng)時，，
則，
∵，則，得，
∴
＝
＝
，
∵
與
不能同時成立，所以上式“＝”不成立，
即對，.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】棋盤上標(biāo)有第
、
、
、
、
站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第
站或第站時，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第
站的概率為
.
（1）當(dāng)游戲開始時，若拋擲均勻硬幣
次后，求棋手所走步數(shù)之和
的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）證明：
；
（3）求
、
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)校為了了解該校高三年級學(xué)生寒假在家自主學(xué)習(xí)的情況，隨機對該校300名高三學(xué)生寒假的每天學(xué)習(xí)時間（單位：h）進(jìn)行統(tǒng)計，按照
，
，
，
，
的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學(xué)生的平均每天學(xué)習(xí)時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；
（Ⅱ）該校規(guī)定學(xué)習(xí)時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學(xué)生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認(rèn)為該校高三年級學(xué)生的性別與學(xué)習(xí)時長合格有關(guān)？
男生 | 女生 | 總計 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
總計 | 140 | 160 | 300 |
參考公式：
，其中
．
參考附表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（1）若
，
恒成立，求實數(shù)
的最大值
；
（2）在（1）的條件下，求證：函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)存在唯一的極大值點
，且
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給定
個不同的數(shù)
、
、
、
、
，它的某一個排列
的前
項和為
，該排列中滿足
的
的最大值為
．記這個不同數(shù)的所有排列對應(yīng)的之和為
．
（1）若
，求
；
（2）若
，
.
①證明：對任意的排列，都不存在使得
；
②求（用表示）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2018年全國數(shù)學(xué)奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學(xué)生如果其中2次成績達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊培訓(xùn)，不用參加其余的競賽，而每個學(xué)生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達(dá)全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績達(dá)全區(qū)前20名的概率都是
，每次競賽成績達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨立.
（1）求該學(xué)生進(jìn)入省隊的概率.
（2）如果該學(xué)生進(jìn)入省隊或參加完5次競賽就結(jié)束，記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為
，求
的分布列及
的數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的內(nèi)接等邊三角形
的面積為
（其中
為坐標(biāo)原點）．
（1）試求拋物線
的方程；
（2）已知點
兩點在拋物線上，
是以點
為直角頂點的直角三角形．
①求證：直線
恒過定點；
②過點作直線的垂線交于點
，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下圖統(tǒng)計了截止到2019年年底中國電動汽車充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量情況，關(guān)于這5次統(tǒng)計，下列說法正確的是（ ）
A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2018年
B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺
C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺
D.從2017年開始，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】圖1是矩形
，
，
，M為
的中點，將
沿
翻折，得到四棱錐
，如圖2．
（Ⅰ）若點N為
的中點，求證：
平面
；
（Ⅱ）若
．求點A到平面
的距離．
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