Question

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（1）焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過點(diǎn)P(3，-2

6

)；
（2）長軸是短軸的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），再根據(jù)橢圓的定義可得a的值，進(jìn)而根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系求出b的值，即可求出橢圓的方程．
（2）由題意可得：a=3b，再分別討論橢圓焦點(diǎn)的位置，即可分別求出a與b，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，焦距等于4，即c=2，
所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），
由橢圓的定義可得：橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于2a，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)P(3，-2

6

)，
所以2a=

(3+2)2+(-2 6 )2

+

(3-2)2+(-2 6 )2

=12，
所以a=6，所以b=

a2-c2

=4

2

，
所以橢圓的方程為：

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）因?yàn)殚L軸是短軸的3倍，
所以a=3b．
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，0），
所以a=3，即b=1，
所以此時(shí)橢圓的方程為

x2

9

+y2=1，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，0），
所以b=3，a=9，
所以此時(shí)橢圓的方程為

y2

81

+

x2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用橢圓的定義與橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決此類問題的步驟是：首先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式（焦點(diǎn)在x軸還是再y軸上），再根據(jù)條件求出 a，b，然后寫出橢圓的方程，此題屬于基礎(chǔ)題．