Question

【題目】已知，.

（1）求在處的切線方程；

（2）若，證明在上單調(diào)遞增；

（3）設(shè)對(duì)任意，成立求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線斜率及切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式即可得切線方程；

（2）求出的導(dǎo)數(shù)，將證明在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為在上恒成立即可；

（3）先化簡(jiǎn)求出，恒成立即恒成立，對(duì)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行討論，研究的最小值不小于零即可.

解：（1），，，

所以在處的切線方程為，即

（2），

則，

由于，故，

又，故，

故，即在上恒成立，

故在遞增；

（3），

由對(duì)任意，恒成立，

設(shè)，

則，

再設(shè)，

則，

∵，∴

因此在上遞增，

故，

①當(dāng)時(shí)，即，

在遞增，故，

即適合題意，

②當(dāng)時(shí)，，，

若，則取，時(shí)，，

若，則在上存在唯一零點(diǎn)，記為，

當(dāng)時(shí)，，

總之﹐存在使時(shí)，

即，故遞減，，

故時(shí)，存在使，不合題意，

綜上，.