Question

如圖，過點(diǎn)作拋物線 的切線，切點(diǎn)A在第二象限.

(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(2)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線，OA，OB的斜率分別為，求橢圓方程．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)

本試題主要是結(jié)合了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到直線的方程，以及運(yùn)用設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想求解得到斜率的關(guān)系式，從而得到求解。
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到縱坐標(biāo)。
(2)因?yàn)殡x心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線，OA，OB的斜率分別為，借助于韋達(dá)定理求解橢圓方程．
解：(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn)，且，
由切線的斜率為，
得的方程為，又點(diǎn)在上，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 得，切線斜率，
設(shè)，切線方程為，由，得，…………7分
所以橢圓方程為，且過，…………9分
由，
，…………………11分
∴

將，代入得：，所以，
∴橢圓方程為．………………13分
OB的斜率分別為，求橢圓方程．