Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，為中點，平面，．

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為30°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明面面垂直，實質(zhì)為證明線面垂直，而線面垂直的證明，往往從兩個方面進行，一是結(jié)合平幾知識尋找線線垂直，本題直角給出另一方面，結(jié)合立幾中線面垂直條件平面得線線垂直（2）涉及二面角問題，一般利用空間向量進行解決，首先根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組求各面的法向量，結(jié)合向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角的關(guān)系，求出二面角的余弦值

試題解析：（1）因為平面平面，所以，．

又因為，

所以平面，

而平面，所以平面平面．

（2）設(shè)和相交于點，連接，

由（1）知，平面，

所以是直線與平面所成的角，從而，

在中，由，得，

因為四邊形為等腰梯形，，

所以均為等腰直角三角形，所以，

所以，

以為原點，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

所以，

設(shè)平面的一個法向量為，

由得，

令，得，

設(shè)平面的一個法向量為，

由得，

令，得，

所以，

因為二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．