Question

【題目】已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，則下列敘述正確的為（ ）

①存在實數(shù)k，使關于x的方程有7個不相等的實數(shù)根

②當時，恒有

③若當時，的最小值為1，則

④若關于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，則

A.①②③B.①③C.②④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

對于①，當時，直線與函數(shù)在第一象限有3個零點，關于x的方程有7個不相等的實數(shù)根，所以①正確；

對于②，當時，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以②不正確；

對于③，令所以，則，所以③正確；

對于④，通過數(shù)形結合分析得到其是錯誤的.

對于①，函數(shù)的圖象如圖所示，由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以只要考查的零點個數(shù)，

由于，所以只要考慮的零點有3個即可.

由題得，所以直線的斜率為，此時直線與函數(shù)的圖象有5個交點，當時，直線與函數(shù)在第一象限有3個零點，關于x的方程有7個不相等的實數(shù)根，所以①正確；

對于②，當時，函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以不成立，所以②不正確；

對于③，令所以，當時，的最小值為1，則，所以③正確；

對于④，由于函數(shù)是奇函數(shù)，關于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，

當時，有三個實根，，

則，

所以的所有實數(shù)根之和為.

令所以錯誤.

故選：B.