Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0）．求動點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求動點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找x，y間的關(guān)系式，結(jié)合題中條件列式化簡即可得；最后對參數(shù)λ分類討論看方程表示什么曲線即可．

解答：解：如圖，設(shè)MN切圓于N，則動點(diǎn)M組成的集合是
P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數(shù)λ＞0．因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個方程的點(diǎn)都屬于集合P．故這個方程為所求的軌跡方程．
當(dāng)λ=1時，方程化為x=

5

4

，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)（

5

4

，0），
當(dāng)λ≠1時，方程化為（x-

2λ 2

λ 2-1

）²+y²=

1+3λ 2

(λ 2-1)2

它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為（

2λ 2

λ 2-1

，0），半徑為

1+3λ 2

|λ 2-1|

點(diǎn)評：本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念等解析幾何的基本思想以及綜合運(yùn)用知識的能力．直接法：直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程．