Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（k，0）和圓C：x²+y²=1；動(dòng)點(diǎn)M到圓的切線長(zhǎng)與Q|
的比值為2．
（1）當(dāng) k=2 時(shí)，求點(diǎn)M 的軌跡方程．
（2）當(dāng) k∈R 時(shí)，求點(diǎn)M 的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，通過(guò)解直角三角形表示出切線長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)距離公式表示出|MQ|的長(zhǎng)，利用已知條件及k=2求出點(diǎn)M 的軌跡方程．
（2）先求出軌跡方程，通過(guò)配方化簡(jiǎn)方程，通過(guò)對(duì)等式右邊的式子分類(lèi)討論得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡．

解答：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）
則點(diǎn)M到圓的切線長(zhǎng)|MA|=

MO2-AO2

=

x2+y2-1

|MQ|=

(x-k)2+y2

（1）當(dāng)k=2時(shí)，

|MA|

|MQ|

=

x2+y2-1

(x-2)2+y2

=2
化簡(jiǎn)得3x²+3y²-16x+17=0即為點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）當(dāng)k∈R時(shí)

|MA|

|MQ|

=

x2+y2-1

(x-k)2+y2

=2，
∴x²+y²-1=4[（x-k）²+y²]
化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為：3x²+3y²-8kx+4k²+1=0
整理得：x2+y2-

8

3

kx+

4k2+1

3

=0即(x-

4

3

k)2+y2=

4k2-3

9

∴k＞

3

2

或k＜-

3

2

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以(

4k

3

，0)為圓心，以

4k2-3

3

為半徑的圓；
k=

3

2

或k=-

3

2

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是點(diǎn)(

4k

3

，0)；-

3

2

＜k＜

3

2

時(shí)，該方程不代表任何圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求圓的切線長(zhǎng)的方法、直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)方法．