Question

(本小題滿分16分)如圖,是橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線的方程為.

(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)是橢圓上異于的一點(diǎn),直線交于點(diǎn),以為直徑的圓記為.
①若恰好是橢圓的上頂點(diǎn),求截直線所得的弦長;
②設(shè)與直線交于點(diǎn),試證明:直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

(1) (2) ①②見解析

解析試題分析：(1)由,解得,故所求橢圓的方程為…………………4分
(2)①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3e/f/mjeke4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以直線的方程為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
從而的方程為,即其圓心為,半徑為………… 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為 ………8分
從而截直線所得的弦長為……………10分
②證:設(shè),則直線的方程為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
又直線的斜率為,而,所以,
從而直線的方程為……………………………13分
令,得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為………………………14分
又點(diǎn)M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為……………………16分
考點(diǎn)：橢圓性質(zhì)，直線與圓橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評：本題計(jì)算量大，對學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力要求較高