Question

已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記為數(shù)列的前項和，
（1）若是大于的正整數(shù)，求證：；
（2）若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；
（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個的值，并加以說明；若不存在，請說明理由；

Answer 1

（1）
（2）存在使得中有三項成等差數(shù)列。

試題分析：設的公差為，由，知，（）
（1）因為，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因為是正整數(shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設數(shù)列中任意一項為
，設數(shù)列中的某一項=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，，所以
，若，則，那么，當時，因為，只要考慮的情況，因為，所以，因此是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項為
與數(shù)列的第項相等，從而結論成立。
（3）設數(shù)列中有三項成等差數(shù)列，則有
2設，所以2，令，則，因為，所以，所以，即存在使得中有三項成等差數(shù)列。
點評：難題，等比數(shù)列、等差數(shù)列相關內容，已是高考必考內容，其難度飄忽不定，有時突出考查求和問題，如“分組求和法”、“裂項相消法”、“錯位相減法”等，有時則突出涉及數(shù)列的證明題，如本題，突出考查學生的邏輯思維能力。本題解法中，注意通過構造“一般項”加以研究，帶有普遍性。