Question

【題目】若數(shù)列、滿足 (N*)，則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

（1）若為常數(shù)列，且為的“偏差數(shù)列”，試判斷是否一定為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（2）若無(wú)窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，求的值；

（3）設(shè)，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，，且，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）{an}不一定為等差數(shù)列，如；

（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，解方程可得首項(xiàng)和公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，計(jì)算可得所求值；

（3）由累加法可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，求得極限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．

解：(1) 如，則為常數(shù)列，但不是等差數(shù)列，

(2) 設(shè)數(shù)列的公比為，則由題意，、均為正整數(shù)，

因?yàn)?/span>，所以，

解得或，

故 或(N*)，

①當(dāng)時(shí)，，，，

② 當(dāng)時(shí)，，，

綜上，的值為或；

(3) 由≤且≤得，=

故有：，

，

，

累加得：

=

=，

又，所以

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，，

從而≤，所以M≥，即M的最小值為．