Question

【題目】關(guān)于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0,1）∪（1,+∞）
【解析】解：關(guān)于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0，

顯然x=1，k﹣2ln1﹣k=0成立；

則方程的另一個(gè)根為x＞0且x≠1，

若k=1，則方程為x2﹣2lnx﹣1=0，

由y=x2﹣2lnx﹣1，導(dǎo)數(shù)為2x﹣ = ，

可得x=1為極小值點(diǎn)也為最小值點(diǎn)，

則x2﹣2lnx﹣1=0只有一解x=1．

當(dāng)x＞1時(shí)，方程可化為k= ，

由f（x）= ，x＞1，

f′（x）= ，

令g（x）=2x﹣ ﹣4xlnx，x＞1，

可得g′（x）=2+ ﹣4（1+lnx）= ﹣2﹣4lnx，

顯然g′（x）在x＞1遞減，即有g(shù)′（x）＜g′（1）=0，

則g（x）在x＞1遞減，即有g(shù)（x）＜g（1）=0，

即有f（x）在（1，+∞）遞減；

同樣當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）遞減，

且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，

則當(dāng)k＞0且k≠1時(shí)，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根．

所以答案是：（0，1）∪（1，+∞）．