Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性的討論，分析函數(shù)極值的正負(fù)，以及極限的思想，確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：（1）由題，

（i）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，

，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，，

，函數(shù)單調(diào)遞減，

時(shí)，，

，函數(shù)單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時(shí)，恒成立，

函數(shù)單調(diào)遞增；

（iv）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

（2）（i）當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)

，不符合題意；

由（1）知：

（ii）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

時(shí)，；時(shí)，；

則僅有唯一零點(diǎn)，不符合題意；

（iii）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，；時(shí)，，

必有兩個(gè)零點(diǎn)；

（iv）當(dāng)，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

，

，

函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

（v）同理可知，時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).