Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）對(duì)于實(shí)數(shù)，，若，有，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若，函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）見(jiàn)解析，（3）

【解析】

（1）通過(guò)計(jì)算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值；

（3）令，,結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果.

（1），

∴

整理得：

∴

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴△＞0，

故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）,

作出其函數(shù)圖象為：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴，；

令，又，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

綜上：當(dāng)或時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，；

（3）由題意可得，

令，

∴，

∴對(duì)稱(chēng)軸 ，

∴，

記

，

∴，

求根公式得：

∴

∴即，

故實(shí)數(shù)的取值范圍