Question

雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．

Answer 1

解答見解析．

本小題考查雙曲線性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識(shí)，以及綜合分析能力．滿分12分．
解法一：設(shè)雙曲線的方程為=1．
依題意知，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足方程組

① ②

 

將②式代入①式，整理得(5b²－3a²)x²+6a²cx－(3a²c²+5a²b²)=0．   ③    ——3分
設(shè)方程③的兩個(gè)根為x₁，x₂，若5b²－3a²=0，則=，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)同，與題設(shè)矛盾，所以5b²－3a²≠0．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有
            ④
        ⑤                              ——6分
由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ得·=－1，
整理得3c(x₁+x₂)－8x₁x₂－3c²=0．         ⑥
將④，⑤式及c²=a²+b²代入⑥式，并整理得3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，即(a²+3b²)(3a²－b²)=0．
因?yàn)?nbsp;       a²+3b²≠0，解得b²=3a²，所以   c==2a．         ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²=[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
整理得(x₁+x₂)²－4x₁x₂－10=0．   ⑦
將④，⑤式及b²=3a²，c=2a代入⑦式，解得a²=1．                     ——10分
將a² =1代入b²=3a²得    b²=3．
故所求雙曲線方程為x²－=1．                                   ——12分
解法二：④式以上同解法一．                                      ——4分
解方程③得x₁=，x₂=   ④        ——6分
由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．
由OP⊥OQ，得x₁ x₂＋(x₁－c)·(x₂－c)=0．     ⑤
將④式及c²=a²b²代入⑤式并整理得     3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，
即   (a²+3b²)(3a²－b²)=0．因a²+3b²≠0，解得b²=3a²．             ——8分
由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²+[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．
即     (x²－x¹)2=10．        ⑥
將④式代入⑥式并整理得(5b²－3a²)²－16a²b⁴=0．               ——10分
將b²=3a²代入上式，得a²=1，將a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求雙曲線方程為x²－=1．             ——12分