Question

【題目】已知橢圓 的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率之積；
（Ⅱ）過點(diǎn) 作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．證明：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)A．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ．設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≠0），則有 ，即 ，

∴ =

（Ⅱ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

∵M(jìn)N與x軸不重合，

∴設(shè)直線 ，

由 化簡得，

；

由題意可知△＞0成立，且 ；

= ；

將 代入上式并化簡得，

．

∴AM⊥AN，即以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)A

【解析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件得到兩個直線的斜率再將兩個式子的乘積轉(zhuǎn)化為已知的形式進(jìn)而求得結(jié)果。（Ⅱ）由已知通過向量數(shù)量積為零證明兩條直線垂直從而得到以MN為直徑的圓恒過直線外的一點(diǎn)A。