【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn),
的距離之比為定值
的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái),人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系
中,
,
,點(diǎn)
滿足
.設(shè)點(diǎn)
的軌跡為
,下列結(jié)論正確的是( )
A.的方程為
B.在上存在點(diǎn)
,使得
C.當(dāng),
,
三點(diǎn)不共線時(shí),射線
是
的平分線
D.在三棱錐中,
面
,且
,
,
,該三棱錐體積最大值為12
【答案】ACD
【解析】
A.代入坐標(biāo)表示出線段長(zhǎng)度,根據(jù)線段長(zhǎng)度比值得到的方程;
B.根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系列出方程,并判斷方程是否有解;
C.利用已知條件,以及的比值,根據(jù)角平分線定理的逆定理作出判斷;
D.結(jié)合題設(shè)定義建立合適坐標(biāo)系,可得的軌跡是圓,據(jù)此分析出三棱錐底面積最大值,由此可得三棱錐體積的最大值.
A.設(shè),因?yàn)?/span>
,所以
,所以
,
所以,故正確;
B.設(shè)存在滿足,因?yàn)?/span>
,所以
,
所以,所以
,
又因?yàn)?/span>,所以
,又因?yàn)?/span>
不滿足
,
所以不存在滿足條件,故錯(cuò)誤;
C.當(dāng),
,
三點(diǎn)不共線時(shí),因?yàn)?/span>
,
,
所以,所以
,由角平分線定理的逆定理可知:射線
是
的平分線,故正確;
D.因?yàn)槿忮F的高為,所以當(dāng)?shù)酌?/span>
的面積最大值時(shí),此時(shí)三棱錐的體積最大,
因?yàn)?/span>,
,取
靠近
的一個(gè)三等分點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)
,
為
軸建立平面直角坐標(biāo)系,
所以不妨取,
,由題設(shè)定義可知
的軌跡方程為:
,
所以,此時(shí)
在圓
的最高點(diǎn)處
,
所以,故正確.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
在左、右焦點(diǎn)分別為
,
,上頂點(diǎn)為點(diǎn)
,若
是面積為
的等邊三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,
是橢圓
上的兩點(diǎn),且
,求使
的面積最大時(shí)直線
的方程(
為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,AB 1,AP AD 2.
(1)求直線與平面
所成角的正弦值;
(2)若點(diǎn)M,N分別在AB,PC上,且平面
,試確定點(diǎn)M,N的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形,且
,
平面ABCD,
,F是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E為PD的中點(diǎn).
Ⅰ
求證:
.
Ⅱ
若
.
求PC與平面BDF所成角的正弦值;
側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線,使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線,都滿足
平面BDF,若存在,求出此直線被直線PA、PD所截線段的長(zhǎng)度,若不存在,請(qǐng)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若滿足
且
,對(duì)于任意的n,
,都有
,則稱數(shù)列
為“指數(shù)型數(shù)列”.
Ⅰ
已知數(shù)列
,
的通項(xiàng)公式分別為
,
,試判斷
,
是不是“指數(shù)型數(shù)列”;
Ⅱ
若數(shù)列
滿足:
,
,判斷數(shù)列
是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說(shuō)明理由;
Ⅲ
若數(shù)列
是“指數(shù)型數(shù)列”,且
,證明:數(shù)列
中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合 為集合U的n個(gè)非空子集,這n個(gè)集合滿足:①?gòu)闹腥稳?/span>m個(gè)集合都有
成立;②從中任取
個(gè)集合都有
成立.
(Ⅰ)若,
,
,寫(xiě)出滿足題意的一組集合
;
(Ⅱ)若,
,寫(xiě)出滿足題意的一組集合
以及集合
;
(Ⅲ) 若,
,求集合
中的元素個(gè)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p>0),圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點(diǎn),△MNF的面積為p,其中F是E的焦點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)不過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交該拋物線于A,B兩點(diǎn),且滿足OA⊥OB,設(shè)點(diǎn)Q為圓C上任意一動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q到直線l的距離最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校隨機(jī)抽取部分男生測(cè)試立定跳遠(yuǎn),將成績(jī)整理得到頻率分布表如表,測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>220厘米以上(含220厘米)的男生定為“合格生”,成績(jī)?cè)?/span>260厘米以上(含260厘米)的男生定為“優(yōu)良生”.
分組(厘米) | 頻數(shù) | 頻率 |
[180,200) | 0.10 | |
[200,220) | 15 | |
[220,240) | 0.30 | |
[240,260) | 0.30 | |
[260,280) | 0.20 | |
合計(jì) | 1.00 |
(1)求參加測(cè)試的男生中“合格生”的人數(shù).
(2)從參加測(cè)試的“合格生”中,根據(jù)表中分組情況,按分層抽樣的方法抽取8名男生,再?gòu)倪@8名男生中抽取3名男生,記X表示3人中“優(yōu)良生”的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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