Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率以及弦長，結(jié)合，可知，可得結(jié)果.

（2）假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率存在與否假設(shè)直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，使用韋達(dá)定理，表示出，結(jié)合不等式，可得結(jié)果.

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.

因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓

所得的弦長為，所以，

得①因?yàn)闄E圓的離心率為，

所以②

又③

由①②③，解得.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

直線的方程為，聯(lián)立

解得或

則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

，或，.

所以

；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),

設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立消去

得，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，

所以直線與橢圓一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

則.

所以

化簡可得

則

化簡可得.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以.

所以，

即，所以.

綜上，的取值范圍是.