Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點在曲線上，直線交曲線于點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由可將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊平方得，由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)題意得出，，然后利用換元法和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換并結(jié)合基本不等式可求出的最小值.

（1）將代入得，，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為.

曲線的方程可化為，

即，得，

所以的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由（1）及題設(shè)條件知，，，其中，

所以，令，

因為，所以，所以，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.

所以的最小值為.