Question

【題目】已知含有個(gè)元素的正整數(shù)集（， ）具有性質(zhì)：對(duì)任意不大于（其中）的正整數(shù)，存在數(shù)集的一個(gè)子集，使得該子集所有元素的和等于．

（Ⅰ）寫出， 的值；

（Ⅱ）證明：“， ，…， 成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

（Ⅲ）若，求當(dāng)取最小值時(shí)的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析: （Ⅰ）由為正整數(shù),則， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先證必要性：由， ，…， 成等差數(shù)列，故，由等差數(shù)列的求和公式得: ；再證充分性：由，故（， ，…， ），故， ，…， 為等差數(shù)列．（Ⅲ）先證明（， ，…， ）,因此，即，所以．由集合的性質(zhì),分類,即可求得當(dāng)取最小值11時(shí)， 的最大值為．

試題解析:（Ⅰ）， .

（Ⅱ）先證必要性：

因?yàn)?/span>， ，又， ，…， 成等差數(shù)列，故，所以；

再證充分性：

因?yàn)?/span>， ， ，…， 為正整數(shù)數(shù)列，故有

， ， ， ，…， ，

所以，

又，故（， ，…， ），故， ，…， 為等差數(shù)列．

（Ⅲ）先證明（， ，…， ）．

假設(shè)存在，且為最小的正整數(shù)．

依題意，則 ，，又因?yàn)?/span>，

故當(dāng)時(shí)， 不能等于集合的任何一個(gè)子集所有元素的和．

故假設(shè)不成立，即（， ，…， ）成立．

因此，

即，所以．　

因?yàn)?/span>，則，

若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，集合中不可能存在若干不同元素的和為，

故，即.

此時(shí)可構(gòu)造集合.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 可以等于集合中若干個(gè)元素的和；

故當(dāng)時(shí)， 可以等于集合中若干不同元素的和；

……

故當(dāng)時(shí)， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故當(dāng)時(shí)， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故當(dāng)時(shí)， 可以等于集合中若干不同元素的和，

所以集合滿足題設(shè)，

所以當(dāng)取最小值11時(shí)， 的最大值為．