Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＋a₂＋…＋a_n＝n²(n∈N^*)．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*(k<p<r)使，，成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示p和r(只要寫出一組)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1(n∈N^*)．（2）當(dāng)k＝1時(shí)，不存在p，r；當(dāng)k≥2時(shí)，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2滿足題設(shè)．

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝1；當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a₁＋a₂＋…＋a_n－1＝(n－1)²，所以a_n＝n²－(n－1)²＝2n－1；綜上所述，a_n＝2n－1(n∈N^*)．
(2)當(dāng)k＝1時(shí)，若存在p，r使，，成等差數(shù)列，則＝－＝.因?yàn)閜≥2，所以a_r<0與數(shù)列{a_n}為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)k＝1時(shí)不存在；
當(dāng)k≥2時(shí)，設(shè)a_k＝x，a_p＝y(tǒng)，a_r＝z，則，所以z＝.令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此時(shí)a_k＝x＝2k－1，a_p＝y(tǒng)＝2x－1＝2(2k－1)－1，所以p＝2k－1，a_r＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k²－5k＋2)－1，所以r＝4k²－5k＋2.
綜上所述，當(dāng)k＝1時(shí)，不存在p，r；當(dāng)k≥2時(shí)，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2滿足題設(shè)．