Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作兩直線與橢圓分別交于相異兩點(diǎn)、.若的平分線與軸平行, 試探究直線的斜率是否為定值？若是, 請(qǐng)給予證明；若不是, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）定值.

試題分析：（1）待定系數(shù)法求橢圓方程.找到兩個(gè)關(guān)于的方程即可.（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030352724593.png" style="vertical-align:middle;" />的平分線與軸平行，所以直線MA,MB的斜率互為相反數(shù).假設(shè)直線MA聯(lián)立橢圓方程即可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镸點(diǎn)坐標(biāo)已知.再把k換成-k即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo).從而求出AB的斜率即可.本題第一小題屬于常規(guī)題型.第二小題要把握以下三方面：首先是MA,MB的斜率是成相反數(shù)，假設(shè)了一個(gè)另一個(gè)也知道.其次A,B的坐標(biāo)也是只要知道一個(gè)另一個(gè)只要把k換成-k即可.再次求A,B坐標(biāo)時(shí)M點(diǎn)已經(jīng)知道，用韋達(dá)定理很好求出.
試題解析：（1）由，得，故橢圓方程為，
又橢圓過(guò)點(diǎn),則，解之得，
因此橢圓方程為
(2)設(shè)直線的斜率為，，由題，直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，直線MB的斜率為，聯(lián)立直線MA與橢圓方程： ，
整理得，由韋達(dá)定理，，
，整理可得，
又
所以為定值.