Question

【題目】已知函數(shù)．

當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 當(dāng)時，在區(qū)間上有2個零點(diǎn)；時，在區(qū)間上有1個零點(diǎn).

【解析】

分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2)當(dāng)時，在單調(diào)遞增在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；時，時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；時，在區(qū)間上有零點(diǎn)和在區(qū)間有一個零點(diǎn)共兩個零點(diǎn).

詳解：（1）∵

當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，

①當(dāng)時，，恒成立，

∴，此時在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

即在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)減；

綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知，

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，此時在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時，且，∴在單調(diào)遞增；，此時在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時，令（負(fù)值舍去）

①當(dāng)即時，在單調(diào)遞增，，此時在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；

②當(dāng)即時，

若即時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，此時在區(qū)間上有一個零點(diǎn)；

若即時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，此時在區(qū)間上有零點(diǎn)和在區(qū)間有一個零點(diǎn)共兩個零點(diǎn)；

綜上：當(dāng)時，在區(qū)間上有2個零點(diǎn)；

時，在區(qū)間上有1個零點(diǎn).