Question

【題目】如圖,棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi),三條棱,,都在平面的同側(cè). 若頂點(diǎn),到平面的距離分別為,;

（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值;

（2）求頂點(diǎn)到面的距離.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）作平面于,平面于,連接.過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).利用勾股定理可得:..利用余弦定理可得,可得,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,利用,即可得答案.

（2）過(guò)作平面平行于面,由（1），即可求得到平面.連接和相交于,因?yàn)?/span>是直角梯形,根據(jù)梯形中位線可知,到底面距離為,即可求出到底面距離.進(jìn)而求得頂點(diǎn)到面的距離.

（1）如圖,

作平面于,平面于,連接

過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).

可得: ,

設(shè)平面與平面所成銳二面角為

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

（2）過(guò)作平面平行于面,由（1），

得到平面為:

連接和相交于,因?yàn)?/span>是直角梯形,如圖:

根據(jù)梯形中位線可知,到底面距離為,

在中根據(jù)三角形中位線可知到底面距離為:.

得頂點(diǎn)到面的距離: .