Question

對(duì)任意,給定區(qū)間,設(shè)函數(shù)表示實(shí)數(shù)與的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值.

YCY

  （1）當(dāng)的解析式；當(dāng)Z）時(shí)，寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的的解析式，并說明理由；

  （2）判斷函數(shù)R）的奇偶性,并證明你的結(jié)論；
（3）求方程的實(shí)根.(要求說明理由)

Answer 1

（1）
（2）證明見解析。
（3）若有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由定義知：與0距離最近， 
當(dāng)時(shí)，由定義知：最近的一個(gè)整數(shù)，故

（Ⅱ）對(duì)任何R，函數(shù)都存在，且存在Z，
滿足Z）
即Z）.
由（Ⅰ）的結(jié)論，
即是偶函數(shù).
（Ⅲ）（理科）解：
（1）當(dāng)沒有大于1的實(shí)根；
（2）容易驗(yàn)證為方程的實(shí)根；
（3）當(dāng)
設(shè)
則
所以當(dāng)為減函數(shù)，
所以方程沒有的實(shí)根；
（4）當(dāng)
設(shè)為減函數(shù)，，
所以方程沒有的實(shí)根.
綜上可知，若有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1.