Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：；

（2）（i）求證：當(dāng)時(shí)，；

（ii）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

注：e=2.71828...為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）（i）證明見(jiàn)解析 （i i）

【解析】

（1）先求導(dǎo)，得，再令，求得，可判斷單調(diào)遞增恒成立，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理計(jì)算兩端點(diǎn)值，即可求證

（2）（i）要證，只需證，只需證，通過(guò)求導(dǎo)證明，求得，即可求證

（ii）先通過(guò)必要性進(jìn)行探路，當(dāng)時(shí)，一定成立，推出 ，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，

進(jìn)一步求導(dǎo)得，結(jié)合（i）中放縮可得，再對(duì)和分類討論，進(jìn)而求證

解析：（1），

令

即恒增，又，，所以在上有一根，即為的極值點(diǎn)，且；

（2）（i）

要證，只需證，只需證，，，即在，即，所以恒成立，即在單調(diào)遞增，又有，所以恒成立，即.

（i i）必要性探路：當(dāng)，有，

當(dāng)時(shí)，

設(shè)

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)

（2）當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.