Question

【題目】已知橢圓的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）寫出直線方程的截距式，化為一般式，由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于，的方程，結(jié)合橢圓離心率以及隱含條件求解，的值，即可得到橢圓方程；

（2）由題意設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，的縱坐標(biāo)的和與積，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求得面積的最大值.

（1）直線的方程為，即，

由原點(diǎn)到直線的距離為，即.

又橢圓的離心率，得，而，

所以，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）可得，設(shè)，，

由于直線PQ的斜率不為0，故設(shè)其方程為，

由，得，

所以，，

所以

，

令，則，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，的面積取得最大值.