【題目】四棱錐
中，底面
為矩形， 
.側(cè)面
底面
.
（1）證明： 
；
（2）設(shè)
與平面
所成的角為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【解析】【試題分析】（1）設(shè)
中點(diǎn)為
，連接
，由已知
，所以
，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，有
平面
，以
為原點(diǎn)， 
為
軸， 
為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算
可得證.（2）設(shè)
，利用直線
和平面
所成角為
，計(jì)算
，再利用平面
和平面
的法向量計(jì)算二面角的余弦值.
【試題解析】
解：（1）證法一：設(shè)
中點(diǎn)為
，連接
，
由已知
，所以
，
而平面
平面
，交線為
故
平面
以
為原點(diǎn)， 
為
軸， 
為
軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)
，
則
所以
，所以
.
證法二：設(shè)
中點(diǎn)為
，連接
，由已知
，所以
，
而平面
平面
，交線為
故
平面
，從而
①
在矩形
中，連接
，設(shè)
與
交于
，
則由
知
，所以
所以
，故
②
由①②知
平面
所以
.
（2）由
，平面
平面
，交線為
，可得
平面
，
所以平面
平面
，交線為
過(guò)
作
，垂足為
，則
平面
與平面
所成的角即為角
所以
從而三角形
為等邊三角形，
（也可以用向量法求出
，設(shè)
，則
，可求得平面
的一個(gè)法向量為
，而
，由
可解得
）
設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，則
，
， 可取
設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，則
，
，可取
于是
，
故二面角
的余弦值為
.
小夫子全能檢測(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來(lái)全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間
（單位：小時(shí)）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)
和中位數(shù)
（的值精確到0.01）；
（2）為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素，學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為
，
的學(xué)生中抽取9名參加座談會(huì)．
（i）你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配？并說(shuō)明理由；
（ii）座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多．請(qǐng)根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù)，填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足（每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí)）與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)？
閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí) | 閱讀時(shí)間超過(guò)8.5小時(shí) | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附：
（
）.
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)農(nóng)村7億多貧困人口擺脫貧困，貧困發(fā)生率由1978年的
下降到2018年底的
，創(chuàng)造了人類減貧史上的中國(guó)奇跡，為全球減貧事業(yè)貢獻(xiàn)了中國(guó)智慧和中國(guó)方案．“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例.2012年至2018年我國(guó)貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如表：
年份（ | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
貧困發(fā)生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
（1）從表中所給的7個(gè)貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選兩個(gè)，求兩個(gè)都低于
的概率；
（2）設(shè)年份代碼
，利用回歸方程，分析2012年至2018年貧困發(fā)生率的變化情況，并預(yù)測(cè)2019年的貧困發(fā)生率．
附：回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)
為極點(diǎn)，以
軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線
的方程為
.
（1）求圓的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于
、
兩點(diǎn)，與軸交于
點(diǎn)，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】拋物線
：
，直線
的斜率為2．
（Ⅰ）若與相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若與相交于
，
，線段
的中垂線交于
，
，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)
到拋物線
的焦點(diǎn)
的距離和它到直線
的距離之比是
．
（1）求點(diǎn)的軌跡
的方程；
（2）過(guò)圓
：
上任意一點(diǎn)
作圓的切線
與軌跡交于
，
兩點(diǎn)，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】若無(wú)窮數(shù)列
滿足：
，當(dāng)
'，
時(shí)，
（其中
表示
，
，…，
中的最大項(xiàng)），有以下結(jié)論：
① 若數(shù)列是常數(shù)列，則
；
② 若數(shù)列是公差
的等差數(shù)列，則
；
③ 若數(shù)列是公比為
的等比數(shù)列，則
：
④ 若存在正整數(shù)
，對(duì)任意，都有
，則，是數(shù)列的最大項(xiàng).
其中正確結(jié)論的序號(hào)是____（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】隨著節(jié)能減排意識(shí)深入人心以及共享單車(chē)在饒城的大范圍推廣，越來(lái)越多的市民在出行時(shí)喜歡選擇騎行共享單車(chē)。為了研究廣大市民在共享單車(chē)上的使用情況，某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
每周使用次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合計(jì) | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
（1）如果認(rèn)為每周使用超過(guò)3次的用戶為“喜歡騎行共享單車(chē)”，請(qǐng)完成
列表（見(jiàn)答題卡），并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車(chē)”與性別有關(guān)？
（2）每周騎行共享單車(chē)6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶.
① 求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達(dá)人”又有女“騎行達(dá)人”的概率；
②為了鼓勵(lì)女性用戶使用共享單車(chē)，對(duì)抽出的女“騎行達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元，記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為
，求
的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附表及公式： 
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體
中，E，F(xiàn)分別為線段CD和
上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足
，則四邊形
所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和（ �。�
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 為定值3D. 為定值2
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