Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn).

（1）當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求的面積；

（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式進(jìn)行證明．

試題解析：（1）由題意，焦點(diǎn)，當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，則直線的方程為，即，

聯(lián)立，，解得，或（舍），即.

連，則直線：，即，

而，.

故

（2）設(shè)，且，則直線的斜率為

，

則直線的方程為，

聯(lián)立，化簡得，

解得，

所以，，

所以為定值.