Question

【題目】設(shè)函數(shù)(a,);

(1)若,求證:函數(shù)的圖像必過(guò)定點(diǎn);

(2)若,證明:在區(qū)間上的最大值;

(3)存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)b的最大值;

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) 證明見(jiàn)解析;(3)5;

【解析】

（1）由題可得代入解析式中,整理后即可得證；

（2）由題先將代入解析式中,由對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置,分別討論,,的情況,進(jìn)而求證即可；

（3）由對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置,分別討論,,的情況,利用不等式的傳遞性,進(jìn)而求解即可

（1）證明:由,則,所以,

則當(dāng)時(shí),無(wú)論為何值,都有,

所以函數(shù)的圖像必過(guò)定點(diǎn)

（2）證明：因?yàn)?/span>,所以,

所以,

因?yàn)?/span>,,

令,則,

所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

當(dāng),即時(shí),在上為增函數(shù),則,

此時(shí)在的最大值為；

當(dāng),即時(shí),在上為減函數(shù),所以,

此時(shí)在的最大值；

當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以的最小值為；

①當(dāng),即時(shí),在上的最大值為,

因?yàn)?/span>,設(shè),

所以,

此時(shí)在的最大值；

②當(dāng),即時(shí),在上的最大值為,

因?yàn)?/span>,,

所以此時(shí)在的最大值；

綜上,,故

（3）當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,

所以,由可得,則,解得；

當(dāng),即時(shí),在在上單調(diào)遞減,

所以,由可得,則,解集為；

當(dāng),即時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

所以,

由和可得,即,則,

所以,與聯(lián)立可得,

即,解得,

當(dāng)時(shí),由可得,此時(shí)滿(mǎn)足所列不等式,

綜上所述,的最大值為5,此時(shí)