巳知橢圓
的離心率是
.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線
，使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.
⑴
；⑵橢圓的焦距的取值范圍是
.
解析試題分析：⑴
，
，再將點
的坐標代入橢圓的方程，這樣便有三個方程，三者聯(lián)立，即可求出
，從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時，不可能滿足題意.故可設直線l的方程為：
，這樣可將點C(2, 0)關于直線l的對稱點的坐標用
表示出來，然后代入橢圓的方程，從而得一關于的方程：
.設
，因此原問題轉化為關于t的方程
有正根.根據二次方程根的分布可得
.進而求得橢圓的焦距的取值范圍.
試題解析：⑴
,
∵點P(2,1)在橢圓上,∴
5分
⑵依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：.
設點C(2, 0)關于直線l的對稱點為
，則
若點在橢圓
上，則
設，因此原問題轉化為關于t的方程有正根.
①當
時，方程一定有正根；
②當
時，則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為
.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4] 13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與橢圓交于
、
兩點，試問，是否存在
軸上的點
，使得對任意的
，
為定值，若存在，求出
點的坐標，若不存在，說明理由.
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如圖已知拋物線
：
過點
，直線
交于
，
兩點，過點
且平行于
軸的直線分別與直線和
軸相交于點
，
．
(1)求
的值；
(2)是否存在定點
，當直線過點時，△
與△
的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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拋物線
，直線
過拋物線
的焦點
，交
軸于點
.
（1）求證：
；
（2）過作拋物線的切線，切點為
（異于原點），
（i）
是否恒成等差數列，請說明理由；
（ii）
重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.
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已知橢圓
：
（
）的右焦點
，右頂點
,且
．
(1)求橢圓的標準方程；
（2）若動直線
：
與橢圓有且只有一個交點
，且與直線
交于點
,問：是否存在一個定點
,使得
.若存在，求出點
坐標；若不存在，說明理由.
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已知橢圓
的短半軸長為
，動點
在直線
（
為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以
為直徑且被直線
截得的弦長為
的圓的方程；
（3）設
是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點
，
求證：線段
的長為定值，并求出這個定值．
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如圖；已知橢圓C:
的離心率為
，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:
設圓T與橢圓C交于點M、N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與
軸交于點R，S，O為坐標原點。求證：
為定值.
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過點
和點
．
的方程；
的直線
與橢圓
兩點，且
，求直線
的方程為
,其中
.
，證明：點