Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）談?wù)摵瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，分，，三種情況討論，由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>顯然沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

解：（1）∵，

故，

∵

∴時(shí)，，故單調(diào)遞減，

時(shí)，，故單調(diào)遞增，

所以，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，在處取最小值，

當(dāng)時(shí)，，在其定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，最小值，因?yàn)?/span>，且在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，，又在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，可得，分別畫(huà)出與，易得它們的圖象有唯一交點(diǎn)，即此時(shí)在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)

綜上，時(shí)，在其定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；或時(shí)，在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；