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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).
          (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;
          (3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得 + = ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:∵N在直線x=6上,∴設(shè)N(6,n),

          ∵圓N與x軸相切,∴圓N為:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2,n>0,

          又圓N與圓M外切,圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0,即圓M:(x﹣6)2+(x﹣7)2=25,

          ∴|7﹣n|=|n|+5,解得n=1,

          ∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣6)2+(y﹣1)2=1


          (2)解:由題意得OA=2 ,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,

          則圓心M到直線l的距離:d= = ,

          則|BC|=2 =2 ,BC=2 ,即2 =2

          解得b=5或b=﹣15,

          ∴直線l的方程為:y=2x+5或y=2x﹣15


          (3)解: = ,即 ,即| |=| |,

          | |= ,

          又| |≤10,即 ≤10,解得t∈[2﹣2 ,2+2 ],

          對于任意t∈[2﹣2 ,2+2 ],欲使 ,

          此時(shí),| |≤10,

          只需要作直線TA的平行線,使圓心到直線的距離為 ,

          必然與圓交于P、Q兩點(diǎn),此時(shí)| |=| |,即 ,

          因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2﹣2 ,2+2 ]


          【解析】(1)設(shè)N(6,n),則圓N為:(x﹣6)2+(y﹣n)2=n2 , n>0,從而得到|7﹣n|=|n|+5,由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意得OA=2 ,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,則圓心M到直線l的距離:d= ,由此能求出直線l的方程.(3) = ,即| |= ,又| |≤10,得t∈[2﹣2 ,2+2 ],對于任意t∈[2﹣2 ,2+2 ],欲使 ,只需要作直線TA的平行線,使圓心到直線的距離為 ,由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.
          【考點(diǎn)精析】利用圓的一般方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知圓的一般方程的特點(diǎn):(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng);(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了;(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.

          練習(xí)冊系列答案
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          B.x=
          C.x=
          D.x=﹣

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