Question

【題目】已知：以點 為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O、B，其中O為原點，
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=﹣2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓C過原點O，

∴ ，

設圓C的方程是 ，

令x=0，得 ，

令y=0，得x1=0，x2=2t

∴ ，

即：△OAB的面積為定值；

（2）解：∵OM=ON，CM=CN，

∴OC垂直平分線段MN，

∵kMN=﹣2，∴ ，

∴直線OC的方程是 ，

∴ ，解得：t=2或t=﹣2，

當t=2時，圓心C的坐標為（2，1）， ，

此時C到直線y=﹣2x+4的距離 ，

圓C與直線y=﹣2x+4相交于兩點，

當t=﹣2時，圓心C的坐標為（﹣2，﹣1）， ，

此時C到直線y=﹣2x+4的距離 ，

圓C與直線y=﹣2x+4不相交，

∴t=﹣2不符合題意舍去，

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

【解析】（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可．（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=﹣2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．
【考點精析】關于本題考查的截距式方程和圓的標準方程，需要了解直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中；圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程才能得出正確答案．