Question

【題目】近期，湖北省武漢市等多個(gè)地區(qū)發(fā)生新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．為了盡快遏制住疫情，我國(guó)科研工作者堅(jiān)守在科研一線，加班加點(diǎn)爭(zhēng)分奪秒與病毒抗?fàn)帲�夜以繼日地進(jìn)行研究．新型冠狀病毒的潛伏期檢測(cè)是疫情控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或?qū)�機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期．鐘南山院士帶領(lǐng)的研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了武漢市某地區(qū)10000名醫(yī)學(xué)觀察者的相關(guān)信息，并通過咽拭子核酸檢測(cè)得到1000名確診患者的信息如下表格：

潛伏期（單位：天）
人數(shù)	800	190	8	2

（1）求這1000名確診患者的潛伏期樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代表）．

（2）新型冠狀病毒的潛伏期受諸多因素影響，為了研究潛伏期與患者性別的關(guān)系，以潛伏期是否超過7天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取100名，得到如下列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者性別有關(guān)．

	潛伏期≤7天	潛伏期>7天	總計(jì)
男性患者		12
女性患者			50
總計(jì)			100

（3）由于采樣不當(dāng)標(biāo)本保存不當(dāng)采用不同類型的標(biāo)本以及使用不同廠家試劑都可能造成核酸檢測(cè)結(jié)果“假陰性”而出現(xiàn)漏診．當(dāng)核酸檢測(cè)呈陰性時(shí)，需要進(jìn)一步進(jìn)行血清學(xué)抗體檢測(cè)，以彌補(bǔ)核酸檢測(cè)漏診的缺點(diǎn)．現(xiàn)對(duì)10名核酸檢測(cè)結(jié)果呈陰性的人員逐一地進(jìn)行血清檢測(cè)，記每個(gè)人檢測(cè)出（是近期感染的標(biāo)志）呈陽(yáng)性的概率為且相互獨(dú)立，設(shè)至少檢測(cè)了9個(gè)人才檢測(cè)出呈陽(yáng)性的概率為，求取得最大值時(shí)相應(yīng)的概率．

附：，其中．

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（1）4.984天（2）見解析，不能有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).（3）

【解析】

（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù).

（2）根據(jù)已知條件填寫聯(lián)表，，計(jì)算出，由此判斷出不能有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

（3）求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得取得最大值時(shí)的的值.

（1）天

（2）

	潛伏期<7天	潛伏期≥7天	總計(jì)
男性患者	38	12	50
女性患者	42	8	50
總計(jì)	80	20	100

∵的觀測(cè)值

∴不能有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

（3）由，化簡(jiǎn)得

令，，則．

則

令，，則

∵，令解得；令，解得；

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∵有唯一的極大值為，也是最大值.

∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值．