【題目】如圖，在長方體
中，點
分別在棱
上，且
，
．
（1）證明：點
在平面
內；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
、
，證明出四邊形
為平行四邊形，進而可證得點
在平面
內；
（2）以點為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系
，利用空間向量法可計算出二面角
的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.
（1）在棱
上取點
，使得
，連接
、
、、，
在長方體
中，
且
，
且
，
，
，
且
，
所以，四邊形
為平行四邊形，則
且
，
同理可證四邊形
為平行四邊形，
且
，
且
，則四邊形為平行四邊形，
因此，點在平面內；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則
、
、
、
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，
由
，得
取
，得
，則
，
設平面
的法向量為
，
由
，得
，取
，得
，
，則
，
，
設二面角的平面角為
，則
，
.
因此，二面角的正弦值為.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】張師傅欲將一球形的石材工件削砍加工成一圓柱形的新工件，已知原球形工件的半徑為
，則張師傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=
）（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】設球半徑為R，圓柱的體積為
時圓柱的體積最大為
,因此材料利用率=
,選C.
點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法
求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．
【題型】單選題
【結束】
12
【題目】已知拋物線
： 
在點
處的切線與曲線
： 
相切，若動直線
分別與曲線
、
相交于
、
兩點，則
的最小值為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統得到很大改善，野生動物數量有所增加.為調查該地區(qū)某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數據(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數量，并計算得
，
，
，
，
.
（1）求該地區(qū)這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數（精確到0.01）；
（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：相關系數r=
，
≈1.414.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】孔子曰：溫故而知新.數學學科的學習也是如此.為了調查數學成績與及時復習之間的關系，某校志愿者展開了積極的調查活動：從高三年級640名學生中按系統抽樣抽取40名學生進行問卷調查，所得信息如下：
數學成績優(yōu)秀（人數） | 數學成績合格（人數） | |
及時復習（人數） | 20 | 4 |
不及時復習（人數） | 10 | 6 |
（1）張軍是640名學生中的一名，他被抽中進行問卷調查的概率是多少（用分數作答）；
（2）根據以上數據，運用獨立性檢驗的基本思想，研究數學成績與及時復習的相關性.
參考公式：
，其中
為樣本容量
臨界值表：
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（理）某學校高一年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在
內，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標準見下表，規(guī)定：
三級為合格等級，
為不合格等級.
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等級 |
|
|
|
|
為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了
名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照
的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖所示.，
（1）求和頻率分布直方圖中的
的值；
（2）根據樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，若在該校高一學生任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；
（3）在選取的樣本中，從
兩個等級的學生中隨機抽取了3名學生進行調研，記
表示所抽取的
名學生中為
等級的學生人數，求隨機變量的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近期，湖北省武漢市等多個地區(qū)發(fā)生新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．為了盡快遏制住疫情，我國科研工作者堅守在科研一線，加班加點爭分奪秒與病毒抗爭，夜以繼日地進行研究．新型冠狀病毒的潛伏期檢測是疫情控制的關鍵環(huán)節(jié)之一．在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或對機體發(fā)生作用起，到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．鐘南山院士帶領的研究團隊統計了武漢市某地區(qū)10000名醫(yī)學觀察者的相關信息，并通過咽拭子核酸檢測得到1000名確診患者的信息如下表格：
潛伏期（單位：天） |
|
|
|
|
人數 | 800 | 190 | 8 | 2 |
（1）求這1000名確診患者的潛伏期樣本數據的平均數
（同一組數據用該組數據區(qū)間的中點值代表）．
（2）新型冠狀病毒的潛伏期受諸多因素影響，為了研究潛伏期與患者性別的關系，以潛伏期是否超過7天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取100名，得到如下列聯表．請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為潛伏期與患者性別有關．
潛伏期≤7天 | 潛伏期>7天 | 總計 | |
男性患者 | 12 | ||
女性患者 | 50 | ||
總計 | 100 |
（3）由于采樣不當標本保存不當采用不同類型的標本以及使用不同廠家試劑都可能造成核酸檢測結果“假陰性”而出現漏診．當核酸檢測呈陰性時，需要進一步進行血清學
抗體檢測，以彌補核酸檢測漏診的缺點．現對10名核酸檢測結果呈陰性的人員逐一地進行血清檢測，記每個人檢測出
（是近期感染的標志）呈陽性的概率為
且相互獨立，設至少檢測了9個人才檢測出呈陽性的概率為
，求取得最大值時相應的概率
．
附：
，其中
．
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，圓
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.
（1）求圓的極坐標方程；
（2）若直線
：
（
為參數）被圓截得的弦長為2，求直線的傾斜角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，
，
，過點
的直線與橢圓相交于點
，
兩點（兩點均在
軸的上方），且
，
（1）若
，求橢圓的方程；
（2）直線
的斜率；
（3）求
的大小.
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