Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點(diǎn).

(1)求證:PA//平面MBD.

(2)試問:在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時，平面PQB⊥平面PNC，證明見解析.

【解析】

(1) 連接AC交BD于點(diǎn)O,證明MO//PA，可得PA//平面MBD；

(2)先利用正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD，

結(jié)合PQ⊥NC，可得NC⊥平面PQB.

解:(1)證明:連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，.

由正方形ABCD知O為AC的中點(diǎn)，

∵M為PC的中點(diǎn)，

∴MO//PA.

∵平面MBD，平面MBD，

∴PA//平面MBD.

(2)存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時，平面PQB⊥平面PNC，證明如下:

∵四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點(diǎn)，

∴BQ⊥NC.

∵Q為AD的中點(diǎn)，△PAD為正三角形，

∴PQ⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，平面PAD

∴PQ⊥平面ABCD.

又∵平面ABCD，

∴.PQ⊥NC.

又，

∴NC⊥平面PQB.

∵平面PCN，

∴平面PCN⊥平面PQB.