Question

【題目】已知，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

（1）當時，證明：；

（2）是否存在實數(shù)，使的最小值為3，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數(shù).

【解析】

（1）有題意不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，先求出f（x）的最小值，令h（x）＝，x∈[﹣e，0），求導得出函數(shù)h（x）的最大值，從而得出結(jié)論；

（2）對求導，通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，即可求出a的值．

（1）由題意可知，所證不等式為，，

因為，

所以當時，，此時單調(diào)遞減；

當時，，此時單調(diào)遞增.

所以在上有唯一極小值，即在上的最小值為1；

令，，則，

當時，，故在上單調(diào)遞減，

所以

所以當時，

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使的最小值為3，

①若，由于，則，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，解得與矛盾，舍去.

②若，則當時，，此時是減函數(shù)，

當時，，此時是增函數(shù)，

所以，解得.

綜上①②知，存在實數(shù)，使的最小值為3.