Question

（本小題滿分15分）
給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)，都有．

試題分析：（1）由題意知，且，可得，
故橢圓C的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為．  
（2）由題意，可設(shè)，則有，
又A點(diǎn)坐標(biāo)為，故，
故
,                  
又，故，
所以的取值范圍是．               
（3）設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有．
當(dāng)時(shí)，設(shè)過且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率為，
則的方程為，代入橢圓方程可得
，即，
由，       
可得，其中，
設(shè)的斜率分別為，則是上述方程的兩個(gè)根，
故，即．
綜上可知，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)，都有．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題新定義了“準(zhǔn)圓”，解答時(shí)要注意審題，明確其特征。本題易漏“其中之一斜率不存在，另一斜率為0， 的情況。