【題目】已知函數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的極值;
(2)若,求證:
.
【答案】(1)當時,極大值
,當
時,極小值
;(2)證明見解析.
【解析】
(1)首先求出導函數(shù),將
代入,求出
的正負,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可求解.
(2)由(1)知,當,
時,可得
,即
,構造
,利用導數(shù)可得函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,即
,證出
,進而證出不等式.
(1)因為,
所以當時,
,
因為當時,
;
當時,
;
當時,
;
所以函數(shù)在
和
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
所以當時,函數(shù)有極大值
,
當時,函數(shù)有極小值
.
(2)由(1)知,當,
時,
函數(shù)在
時取得極小值,即最小值
,
所以,化簡可得
,
令,則
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,
所以,所以
,
從而可得,
因為不等式的兩個等號不同時成立,所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點A,B在拋物線
上,且A,B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.
(1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;
(2)過M點的直線l交拋物線C于P,Q兩點,拋物線C在P,Q處的切線相交于N點,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為正方形,四邊形
為矩形,且平面
與平面
互相垂直.若多面體
的體積為
,則該多面體外接球表面積的最小值為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
.(
為參數(shù))以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點
的極坐標為
,直線
的極坐標方程為
.
(1)求的直角坐標和 l的直角坐標方程;
(2)把曲線上各點的橫坐標伸長為原來的
倍,縱坐標伸長為原來的
倍,得到曲線
,
為
上動點,求
中點
到直線
距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“水資源與永恒發(fā)展”是2015年聯(lián)合國世界水資源日主題,近年來,某企業(yè)每年需要向自來水廠所繳納水費約4萬元,為了緩解供水壓力,決定安裝一個可使用4年的自動污水凈化設備,安裝這種凈水設備的成本費(單位:萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水,安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補的用水模式.假設在此模式下,安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費C(單位:萬元)與安裝的這種凈水設備的占地面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關系是C(x)= (x≥0,k為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種凈水設備的費用與該企業(yè)4年共將消耗的水費之和.
(1)試解釋C(0)的實際意義,并建立y關于x的函數(shù)關系式并化簡;
(2)當x為多少平方米時,y取得最小值,最小值是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
,(
為參數(shù)),直線
的普通方程為
,設
與
的交點為
,當
變化時,記點
的軌跡為曲線
. 在以原點
為極點,
軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線
的方程為
.
(1)求曲線的普通方程;
(2)設點在
上,點
在
上,若直線
與
的夾角為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率是
,且經(jīng)過點
.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過右焦點F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,點B關于x軸的對稱點為H,試問的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
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