【題目】已知函數(shù),
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)若,求證:
.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),極大值
,當(dāng)
時(shí),極小值
;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),將
代入,求出
的正負(fù),從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可求解.
(2)由(1)知,當(dāng),
時(shí),可得
,即
,構(gòu)造
,利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,即
,證出
,進(jìn)而證出不等式.
(1)因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),
,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
所以函數(shù)在
和
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值
,
當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值
.
(2)由(1)知,當(dāng),
時(shí),
函數(shù)在
時(shí)取得極小值,即最小值
,
所以,化簡(jiǎn)可得
,
令,則
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,
所以,所以
,
從而可得,
因?yàn)椴坏仁降膬蓚(gè)等號(hào)不同時(shí)成立,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點(diǎn)A,B在拋物線
上,且A,B兩點(diǎn)到拋物線C焦點(diǎn)的距離之和為11.
(1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;
(2)過(guò)M點(diǎn)的直線l交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),拋物線C在P,Q處的切線相交于N點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在五面體中,
,
,
,
,平面
平面
..
(1)證明:直線平面
;
(2)已知為棱
上的點(diǎn),試確定
點(diǎn)位置,使二面角
的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為正方形,四邊形
為矩形,且平面
與平面
互相垂直.若多面體
的體積為
,則該多面體外接球表面積的最小值為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
.(
為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的直角坐標(biāo)和 l的直角坐標(biāo)方程;
(2)把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的
倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的
倍,得到曲線
,
為
上動(dòng)點(diǎn),求
中點(diǎn)
到直線
距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“水資源與永恒發(fā)展”是2015年聯(lián)合國(guó)世界水資源日主題,近年來(lái),某企業(yè)每年需要向自來(lái)水廠所繳納水費(fèi)約4萬(wàn)元,為了緩解供水壓力,決定安裝一個(gè)可使用4年的自動(dòng)污水凈化設(shè)備,安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)(單位:萬(wàn)元)與管線、主體裝置的占地面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水,安裝后采用凈水裝置凈水和自來(lái)水廠供水互補(bǔ)的用水模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年向自來(lái)水廠繳納的水費(fèi)C(單位:萬(wàn)元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)= (x≥0,k為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和.
(1)試解釋C(0)的實(shí)際意義,并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn);
(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí),y取得最小值,最小值是多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
,(
為參數(shù)),直線
的普通方程為
,設(shè)
與
的交點(diǎn)為
,當(dāng)
變化時(shí),記點(diǎn)
的軌跡為曲線
. 在以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線
的方程為
.
(1)求曲線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在
上,點(diǎn)
在
上,若直線
與
的夾角為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線:
,
:
,圓
:
.
(1)當(dāng)為何值時(shí),直線
與
平行;
(2)當(dāng)直線與圓
相交于
,
兩點(diǎn),且
時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率是
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,試問(wèn)的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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