Question

已知變量x，y滿足

2x+y-2≥0 x-2y+4≥0 3x-y-3≤0

，則z=x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A．[1，13]
• B．[2，13]
• C．[

  4

  5

  ，13]
• D．[

  2 5

  5

  ，

  13

  ]

Answer 1

分析：畫出滿足條件的可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合分析出可行域內(nèi)，距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，分別利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．

解答：解：滿足

2x+y-2≥0 x-2y+4≥0 3x-y-3≤0

的平面區(qū)域如下圖所示：

∵z=x²+y²表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)任一點(diǎn)距離的平方
又∵可行域內(nèi)B點(diǎn)距離原點(diǎn)最近，此時(shí)z=x²+y²=

4

5

可行域內(nèi)A點(diǎn)距離原點(diǎn)最近，此時(shí)z=x²+y²=13
故z=x²+y²的取值范圍是[

4

5

，13]
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃，點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)之間的距離公式，其中分析出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵．