Question

已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

則f（x，y）=

x+2y

2x+y

的取值范圍是

[

5

7

，

7

5

]

．

Answer 1

分析：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的基本知識(shí)，先畫(huà)出約束條件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

，的可行域，然后分析 f（x，y）=

x+2y

2x+y

的幾何意義，結(jié)合圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想，即可求解．

解答：解析：畫(huà)出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
則f（x，y）=

x+2y

2x+y

=

1+2• y x

2+ y x

，令

y

x

=k，則f（x，y）=g（k）=

1+2k

2+k

=2-

3

2+k

．
而k=

y

x

表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)O的連線(xiàn)的斜率，觀(guān)察圖形可知，k_OA≤k≤k_OB，而k_OA=

1

3

，k_OB=3，
∴

1

3

≤k≤3，即

5

7

≤f（x，y）≤

7

5

．
故答案為：[

5

7

，

7

5

]．

點(diǎn)評(píng)：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．