Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn)并判斷是極大值還是極小值；
（Ⅲ）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
（2）時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，
（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)有惟一極小值點(diǎn)故可以得到函數(shù)借助于單調(diào)性來(lái)證明不等式。

試題分析：解：（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014957777533.png" style="vertical-align:middle;" />，
    
當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．  …………4分
（2）當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同解， ，,
此時(shí) ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，     ………8分
（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
此時(shí)有惟一極小值點(diǎn)
且 
                      …… 11分
令函數(shù)
 
 13分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用，屬于難度題。