Question

【題目】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AB=AD，BC=DC．

（1）求證：∥平面EFGH；

（2）求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）證明線(xiàn)面平行一般證明線(xiàn)線(xiàn)平行或面面平行，本題中利用中點(diǎn)產(chǎn)生的中位線(xiàn)得到的EH∥BD來(lái)證明 平面；（2）由四個(gè)中點(diǎn)可利用中位線(xiàn)性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到平面（BD中點(diǎn)為O）從而得到，所以四邊形是矩形

試題解析：（1）∵E，H分別為AB， DA的中點(diǎn)．

∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH，

平面EFGH；

（2）取BD中點(diǎn)O，連續(xù)OA，OC．

∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，

又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC．

∴BD⊥AC．

∵E，F，G，H為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．

∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．

∴EH∥FG，且EH=FG．∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．∴EF⊥EH．∴四邊形EFGH為矩形